代数结构

代数结构(algebraische Strukturen)

半群(Halbgruppe)

一个半群是一种代数结构$\left\langle A, \bullet^{2}\right\rangle$, 其具有如下的性质:

• 满足结合律, 也就是说$\forall a, b, c:(a \cdot(b \bullet c))=((a \cdot b) \cdot c)$

 

一个可换的的半群还需满足如下性质:

• 满足交换律, 也就是说$\forall a, b:(a \cdot b)=(b \bullet a)$

 

幺半群(Monoid)

一个(可换的)幺半群是一种代数结构$\left\langle A, \bullet^{2}, 1^{0}\right\rangle$, 其具有如下性质:

• $\left\langle A, \bullet^{2}\right\rangle$是一个(可换的)半群
• 存在单位元(neutrales Element): $1^{0} ($关于$\bullet)$

在半群的基础上新加了**单位元$1^{0}$的需求**

 

群(Gruppe)

一个(可换的)群是一种代数结构$\left\langle A, \bullet^{2}, 1^{0}\right\rangle$, 其具有以下性质:

• $\left\langle A, \bullet^{2}, 1^{0}\right\rangle$是一个(可换的)幺半群
• 存在逆元(关于$\bullet$), 也就是说$\forall a \exists b:(a \cdot b)=1=(b \cdot a)$

在幺半群的基础上新加了**元素的逆元存在需求**

 

一个可换的群也被称作阿贝尔群(abelsche Gruppe)

 

环(Ring)

一个(伪)环是一个代数结构$\left\langle A,+^{2}, \bullet^{2}, 0^{0}\right\rangle$ (或者$\left\langle A,+^{2}, \bullet^{2}, 0^{0}, 1^{0}\right\rangle$), 其具有以下性质:

• $\left\langle A, \bullet^{2}\right\rangle$是一个半群(或者$\left\langle A, \bullet^{2}, 1^{0}\right\rangle$是一个幺半群)
• $\left\langle A,+^{2}, 0^{0}\right\rangle$是一个可换的群
• 从两个方向满足交换律, 也就是说$\forall a, b, c:(a \cdot(b+c))=(a \bullet b+a \cdot c)$并且$((a+b) \cdot c)=((a \cdot c)+(b \cdot c))$

在群的基础上新增了对于**交换律的需求**

 

域(Körper)

一个域是一个代数结构$\left\langle A,+^{2}, \bullet^{2}, 0^{0}, 1^{0}\right\rangle$, 其具有以下性质:

• $\left\langle A,+^{2}, \bullet^{2}, 0^{0}, 1^{0}\right\rangle$是一个伪环
• $\left\langle A \backslash{0}, \bullet^{2}, 1^{0}\right\rangle$是一个可换的群

以上所有性质都有, 并且新增了对于**非0单位有逆元的需求**